Propiedades geométricas
de una sección parabólica


Jhonath W. Mejía y Víctor M. Ponce

210220

RESUMEN

El presente artículo tiene por objeto formular las ecuaciones para el cálculo de las propiedades geométricas de una sección parabólica, en la hidráulica de canales. Estas ecuaciones se comparan con las presentadas en el capítulo 2 del libro "Hidráulica de Canales Abiertos" de Ven Te Chow (1994).

1.  INTRODUCCIÓN

El cálculo de las propiedades geométricas de una sección parabólica de canal se hace aplicando integrales normales y de línea, usando los parámetros que caracterizan una parábola.

2.  PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE UNA SECCIÓN PARABÓLICA

La ecuación de Manning es:

             A
  Q  =  ____  R 2/3  So1/2
             n 		(1)

en la cual Q = caudal; A = área; R = radio hidráulico; So = pendiente de fondo; y n = rugosidad de Manning. Por lo tanto:

   Q n              A 2/3
  _____  =  A  _____
  So1/2            P 2/3 		(2)

en la cual el factor de sección Fs está dado de la siguiente forma:

              A 5/3
  Fs  =  ______
             P 2/3 		(3)

Por lo tanto:

               A 5
  Fs3  =  _____
               P 2 		(4)

El área y el perímetro de una sección parabólica para un tirante yo y ancho de superficie libre T se muestran en la Fig. 1.

Fig. 1 Esquema de definición de una sección parabólica.

Para calcular el área se hace uso de la siguiente integral:

                    T/2
  A  =  2 ∫  (fx2 - fx1) dx
                   0 		(5)

                    T/2                          T/2
  A  =  2 ∫  (yo) dx  -  2 ∫  (4Fx 2) dx
                   0                              0 		(6)

                                          x 3
  A  =  2yo [ x ] 0T/2  -  8F [ ___ ] 0T/2
                                          3 		(7)

                      FT 3
  A  =  yoT -  _____
                       3 		(8)

en la cual 4F es un parámetro de la parábola definido como sigue:

               yo            4yo
  4F  =  ______  =  _____
            (T/2) 2        T 2 		(9)

Por lo tanto:

             yo
  F  =  _____
            T 2 		(10)

Reemplazando la Ec. 10 en la Ec. 8:

                         yo       T 3                    yoT
  A  =  yoT  -   _____  _____  =  yoT  -  _____
                        T 2       3                       3 		(11)

Por lo tanto:

            2yoT
  A  =  ______
               3 		(12)

Para el perímetro mojado, se utiliza una integral de línea:

                    T/2
  P  =  2 ∫  [1 + (f 'x1) 2] 1/2 dx
                   0 		(13)

                    T/2
  P  =  2 ∫  [1 + (8F) 2x 2] 1/2 dx
                   0 		(14)

La Ecuación 14 tiene la forma de una integral conocida:  ∫ (a2+x2)1/2dx, y su solución es:

                 x                                  senh-1 (8Fx)
  P  =  2 [ ___ [1 + (8F) 2x 2] 1/2 + _______________ ] 0T/2
                 2                                        2 (8F) 		(15)

                  T/2                                         senh-1 (8FT/2)
  P  =  2 { ______ [1 + (8F)2(T/2) 2] 1/2 + _________________ }
                    2                                                  2(8F) 		(16)

Reemplazando la Ec. 10 en la Ec. 16, se obtiene:

                  T/2                                                   senh-1 (8(yo/T 2)(T/2))
  P  =  2 { ______ [1 + (8(yo/T 2)) 2 (T/2) 2] 1/2 + ________________________ }
                    2                                                            2(8(yo/T 2)) 		(17)

             T            16yo 2              T 2                   4yo
  P  =  ____ ( 1 + ______ ) 1/2 + ______ senh-1 ( ______ )
             2              T 2                8yo                    T 		(18)

             T                  4yo                     T                     4yo
  P  =  ____ [ ( 1 + ( ______ ) 2 ) 1/2 + ______ senh-1 ( ______ ) ]
             2                   T                      4yo                    T 		(19)

La Ecuación 19 se puede expresar en función de logaritmos, usando la siguiente fórmula:

 senh-1θ = ln [θ+ (1+θ 2) 1/2] (20)

Por lo tanto:

             T                  4yo                   T            4yo                  4yo
  P  =  _____ { [1 + ( _____ ) 2 ] 1/2 + _____ ln [ _____ + ( 1 + ( _____ ) 2 ) 1/2] }
             2                   T                    4yo           T                     T 		(21)

La Ecuación 21 es la misma fórmula que aparece en la Tabla 2-1 del libro de Ven Te Chow (1994): “Hidráulica de Canales Abiertos”.

La Figura 2 muestra la Ecuación 19 en forma gráfica: P = f (T,yo), para 0 < T < 10; 0 < yo < 5:

Fig. 2  Perímetro mojado versus el ancho de la superficie libre y tirante de agua.

A continuación, se utiliza la Ec. 19 para construir las propiedades geométricas de la parábola.

El ancho de superficie libre T es:

            3A
  T  =  _____
            2yo 		(22)

El radio hidráulico R es:

             A
  R  =  _____
             P 		(23)

                                                  2yoT
                                                ______
                                                     3
  R  =  ____________________________________________________
             T                  4yo                    T                     4yo
           ____ { [ 1 + ( ______ ) 2 ] 1/2 + ______ senh-1 ( ______ ) }
             2                   T                      4yo                   T 		(24)

            4yo                 4yo                     T                    4yo
  R  =  _____ { [ 1 + ( ______ ) 2 ] 1/2 + ______ senh-1 ( ______ ) } -1
              3                    T                      4yo                    T 		(25)

El tirante hidráulico D es:

             A          A
  D  =  ____  =  ____
             T         3A
                       ____
                        2yo 		(26)

Por lo tanto:

            2yo
  D  =  _____
              3 		(27)

La Tabla 1 resume las propiedades de una sección parabólica.

Tabla 1.   Propiedades geométricas de una sección parabólica.
Propiedad Ecuación Fórmula
Área Ec. 12           2yoT
  A  =  ______
           3
Perímetro mojado Ec. 19      T                  4yo                     T                     4yo
  P  =  ____ { [ 1 + ( ______ ) 2 ] 1/2 + ______ senh-1 ( ______ ) }
   2                   T                      4yo                    T
Ancho
de la
superficie
libre		 Ec. 22            3A
  T  =  ______
            2yo
Radio
hidráulico		 Ec. 25    4yo                  4yo                    T                    4yo
  R  =  _____ { [ 1 + ( ______ ) 2 ] 1/2 + ______ senh-1 ( _____ ) } -1
  3                    T                      4yo                   T
Tirante hidráulico Ec. 27            2yo
  D  =  ______
            3

APÉNDICE I.   BIBLIOGRAFÍA

Chow, V. T. 1994. Hidráulica de Canales Abiertos. McGraw-Hill Interamericana, S.A., Bogotá, Colombia.

Leithold, L. 1998. El Cálculo, Séptima Edición, Oxford University Press, Harla México, S.A.

APÉNDICE II.   NOTACIÓN

En este documento se utilizan los siguientes símbolos:

Q = caudal;

n = coeficiente de Manning;

So = pendiente de fondo;

yo = tirante de agua;

Fs = factor de sección;

A = área de flujo;

P = perímetro mojado;

T = ancho de la superficie libre;

R = radio hidráulico; y

D = tirante hidráulico.

210224

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