El flujo a través de un embalse se rige por la ecuación unidimensional de almacenamiento (Fig. 2):

en la cual I = entrada, O = salida, y dS/dt = tasa de cambio de almacenamiento, expresada en L³ T ^-1 unidades.

Figura 2  Flujo de entrada, salida y tasa de cambio de almacenamiento en un volumen de control.

Una relación comúnmente utilizada entre el flujo de salida y el almacenamiento es la siguiente:

en la cual K = coeficiente de almacenamiento, y m = exponente. Para m = 1, la Ecuación 2 se reduce a la forma lineal:

en la cual K es una constante de proporcionalidad o coeficiente de almacenamiento lineal, que tiene las unidades de tiempo (T). Cuando se combina con la Ecuación 1, ya sea la Ecuación 2 o la Ecuación 3 proporcionan difusión de la escorrentía (Ponce, 1989).

3.  DIFUSIÓN DE FLUJO EN CANALES

Los canales son estructuras hidráulicas de aguas superficiales que pueden o no proporcionar difusión de escorrentía, dependiendo de la escala relativa de la onda de inundación. La cantidad de difusión de onda se caracteriza por el número de onda adimensional σ_*, como se muestra en la Figura 3. El número de onda adimensional se define de la siguiente manera:

en la cual L = longitud de onda, y L_o = longitud del canal en el cual el flujo de equilibrio deja caer una carga igual a su profundidad (Lighthill y Whitham, 1955):

Se identifican cuatro tipos de ondas:

1. ondas cinemáticas,

2. ondas de difusión,

3. Ondas mixtas cinemático-dinámicas, y

4. Ondas dinámicas.

Las ondas cinemáticas se encuentran en el lado izquierdo del espectro del número de onda adimensonal, presentando una celeridad de onda relativa adimensional constante y una atenuación nula. Las ondas dinámicas se encuentran en el lado derecho, presentando celeridad de onda relativa adimensional constante y atenuación nula. Las ondas mixtas cinemático-dinámicas y cinemáticas mixtas se encuentran en el centro del espectro, presentando una celeridad de onda relativa adimensional variable y una atenuación media a alta. Las ondas de difusión son intermedias entre las ondas cinemáticas y las mixtas cinemático-dinámicas, presentando una leve atenuación. [Tenga en cuenta que en la práctica de la ingeniería hidráulica, las ondas dinámicas se conocen comúnmente como de Lagrange u ondas "cortas", mientras que las ondas mixtas cinemático-dinámicas se denominan comúnmente "ondas dinámicas", lo que genera una confusión semántica].

Fig. 3  Celeridad de propagación de ondas en flujo de canales (Ponce y Simons, 1977).

Para los cálculos de enrutamiento de inundaciones, las ecuaciones de gobierno de continuidad y movimiento, comúnmente denominadas ecuaciones de Saint Venant, pueden linealizarse y combinarse en una ecuación de convección-difusión con el caudal Q como variable dependiente (Hayami, 1951; Dooge, 1973; Dooge et al., 1982; Ponce, 1991a ; Ponce, 1991b):

en el cual V = número de Vedernikov, definido como la relación entre la celeridad relativa de la onda cinemática y la celeridad relativa de la onda dinámica (Ponce, 1991b):

en el cual β = exponente de la curva de gasto. Q = A^β, V_o = velocidad media, d_o = profundidad media, y g = aceleración gravitacional.

En la ecuación 6, para V = 0, el coeficiente del término de segundo orden se reduce a la difusividad hidráulica cinemática, originalmente debida a Hayami (1951). Por otro lado, para V = 1, el coeficiente del término de segundo orden se reduce a cero y el término de difusión desaparece. Bajo esta condición, todas las ondas, sin importar escala, viajan con la misma velocidad, fomentando el desarrollo de ondas de rollo (Fig. 4).

Fig. 4  Ondas de rollo en un canal de riego, de alta pendiente.

4.  DIFUSIÓN EN CUENCAS

La escorrentía superficial en cuencas puede ser de tres tipos (Ponce, 1989a; 2014a):

1. Flujo concentrado, cuando la duración efectiva de la precipitación es igual al tiempo de concentración,

2. Flujo superconcentrado, cuando la duración efectiva de la precipitación es superior al tiempo de concentración, y

3. Flujo subconcentrado, cuando la duración efectiva de la precipitación es inferior al tiempo de concentración.

La Figura 5 muestra una esquematización de libro abierto, tipicamente usada en el modelado de flujo sobre el terreno. La entrada es la precipitación efectiva en dos planos adyacentes a un canal central. La salida es el hidrograma en la salida de la cuenca.

Fig. 5  Esquematización de libro abierto..

La Figura 6 muestra hidrogramas adimensionales para los tres casos descritos anteriormente (Ponce y Klabunde, 1999). El caudal máximo máximo posible es: Q_p = I_e A, en el cual I_e = intensidad de precipitación efectiva, y A = área de la cuenca. Por definición, el flujo pico de salida se alcanza para flujos concentrados y superconcentrados. Sin embargo, en el caso de flujo subconcentrado, el pico de salida no alcanza el valor máximo posible. Efectivamente, esto equivale a difusión de escorrentía, porque el flujo en realidad se ha esparcido en el tiempo (y en el espacio).

Reiterando, la difusión de la escorrentía se produce para todas las ondas cuando el tiempo de concentración excede la duración efectiva de la precipitación. Este suele ser el caso de cuencas medianas y grandes, para las cuales la pendiente de la cuenca (a lo largo de la longitud hidráulica) suele ser suficientemente suave (pequeña). El tiempo de concentración está directamente relacionado con la longitud hidráulica de la cuenca y la fricción, e inversamente relacionado con la pendiente de fondo y la intensidad de precipitación efectiva (Ponce, 1989b; 2014b).

Fig. 6  Hidrogramas adimensionales de escorrentía de cuenca (Ponce y Klabunde, 1999).

La Figura 7 muestra hidrogramas adimensionales ascendentes de flujo sobre el terreno para un modelo de onda cinemática (etiquetado como OC) y para varios modelos de almacenamiento en reservorio, para exponentes de la curva de gasto m (Ecuación 2) variando desde m = 1, ccorrespondiente a un reservorio lineal, hasta m = 3, correspondiente al flujo laminar (Ponce et al., 1997). El tiempo de equilibrio de la onda cinemática, similar al tiempo de concentración, es teóricamente igual a la mitad del tiempo de concentración de los modelos basados en almacenamiento de reservorio (Ponce, 1989; 2014). Se observa que los modelos de almacenamiento dispersan el hidrograma y, en consecuencia, producen difusión, mientras que el modelo de onda cinemática carece por completo de difusión. El tiempo-al-equilibrio cinemático es el valor más corto posible del tiempo de concentración, lo que da como resultado, en conjunto, flujos mayores. Por lo tanto, bajo flujo cinemático puro, la difusión de la escorrentía es nula.

Fig. 7  Hidrogramas adimensionales ascendentes de flujo sobre el terreno (Ponce et al., 1997).

En la práctica, un modelo numérico de onda cinemática puede no estar totalmente desprovisto de difusión, debido a la aparición de difusión numérica (Ponce, 1991a). De hecho, los esquemas de primer orden de la ecuación de onda cinemática producen difusión numérica. Esta difusión, sin embargo, no está controlada, no está basada en parámetros físicos y, por lo tanto, no tiene relación con la verdadera difusión del problema físico.

5.  DIFUSIÓN EN CÁLCULOS EN LÍNEA

Se pueden calcular ejemplos de difusión de escorrentía con los siguientes modelos en línea:

• Programa ONLINE ROUTING01 para el enrutamiento lineal en reservorios.

• Programa ONLINE ROUTING05 para el enrutamiento en canales utilizando el método Muskingum-Cunge.

• Programa ONLINE OVERLAND para flujo sobre el terreno utilizando el método de la onda difusiva.

6.  RESUMEN

Se reexamina el concepto de difusión de la escorrentía con el fin de aclarar su papel en relación con el enrutamiento del flujo de superficie libre no permanente en embalses, canales y cuencas. Todos los cálculos de enrutamiento determinan efectivamente la cantidad de difusión. La difusión se manifiesta por la extensión del hidrograma en el tiempo y, por lo tanto, en el espacio. La difusión es inherente a los embalses y siempre se produce en el flujo a través de embalses.

En el flujo en canales, la difusión se produce en ausencia de condiciones cinemáticas o dinámicas de onda, es decir, en condiciones de onda de difusión, o mixta cinemático-dinámica, esta última siempre que el número de Vedernikov sea inferior a 1. En el umbral V = 1, la difusión desaparece, y esta condición promueve el desarrollo de ondas de rollo.

En la escorrentía de cuencas, la difusión se produce: (1) para todos los tipos de onda, cuando el tiempo de concentración excede la duración efectiva de la precipitación, es decir, para el flujo subconcentrado, condición que generalmente se asocia con cuencas medianas y grandes, o (2) para todas las duraciones de lluvia efectiva, cuando la onda es una onda de difusión (o un tipo de onda mixta cinemático-dinámica), que generalmente se asocia con una pendiente de cuenca suficientemente suave. En conclusión, en la escorrentía de cuencas, la difusión se produce en: (1) cuencas medianas y grandes, con un tiempo de concentración grande, y/o (2) pendientes suaves, los cuales típicamente presentan ondas de difusión.

BIBLIOGRAFÍA

Dooge, J. C. I. 1973. Linear theory of hydrologic systems, Technical Bulletin No. 1468, Agricultural Research Service, U.S. Department of Agriculture, Washington, D.C.

Dooge, J. C. I., W. B. Strupczewski, y J. J. Napiorkowski. 1982. Hydrodynamic derivation of storage parameters of the Muskingum model, Journal of Hydrology, Vol. 54, 371-387.

Hayami, S. 1951. On the propagation of flood waves. Bulletin No. 1, Disaster Prevention Research Institute, Kyoto University, Kyoto, Japan, December.

Lighthill, M. J., y G. B. Whitham. 1955. On kinematic waves: I. Flood movement in long rivers. Proceedings, Royal Society of London, Series A, 229, 281-316.

Ponce, V. M., y D. B. Simons. 1977. Shallow wave propagation in open channel flow. Journal of the Hydraulics Division, ASCE, Vol. 103, No. HY12, pages 1461-1476, December.

Ponce, V. M. 1986. Diffusion wave modeling of catchment dynamics. Journal of Hydraulic Engineering, ASCE, Vol. 112, No. 8, pages 716-727, August.

Ponce, V. M. 1989. Engineering hydrology: Principles and practices, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.

Ponce, V. M. 1991a. The kinematic wave controversy. Journal of Hydraulic Engineering, ASCE, Vol. 117, No. 4, pages 511-525, April.

Ponce, V. M. 1991b. New perspective on the Vedernikov number. Water Resources Research, Vol. 27, No. 7, pages 1777-1779, July.

Ponce, V. M., O. I. Cordero-Braña, y S. Y. Hasenin. 1997. Generalized conceptual modeling of dimensionless overland flow hydrographs. Journal of Hydrology, 200, pp. 222-227.

Ponce, V. M., y A. C. Klabunde. 1999. Parking lot storage modeling using diffusion waves. Journal of Hydrologic Engineering, Vol. 4, No. 4, October, pp. 371-376.

Ponce, V. M. 2014. Engineering hydrology: Principles y practices, Second edition, online.