1.  Introducción

La descarga máxima en una alcantarilla circular se produce, no cuando la alcantarilla está llena, sino cuando la alcantarilla está casi llena. La razón de este comportamiento es que a una cierta profundidad relativa y/D (en la cual y es la profundidad de flujo y D es el diámetro de la alcantarilla), el perímetro mojado comienza a crecer más rápidamente que el área de flujo y, en consecuencia, el caudal comienza a disminuir.

En este artículo se calcula la profundidad relativa y/D que corresponde al caudal máximo en una alcantarilla circular.

2.  Derivación

De acuerdo con la ecuación de Manning, el caudal es (Ponce, 2014):

en la cual Q = caudal, A = área de flujo, R = radio hidráulico, S = pendiente de fondo, y n = coeficiente de fricción de Manning. Dado que R = A / P, el caudal es:

1 Q  =  ____ A 5/3 P - 2/3 S 1/2              n

(2)

En términos de r y θ, el área de flujo y perímetro mojado son, respectivamente (Fig. 1):

r 2 A  =  ____   ( θ - sin θ )              2

(3)

P  =  r θ

(4)

Fig. 1  Definición de las variables.

Por lo tanto:

dA          r 2 _____  =  ____   ( 1 - cos θ )   dθ           2

(5)

dP            _____  =  r       dθ

(6)

La profundidad relativa es (Fig. 1):

y /D  =  (1/2) [ 1 - cos (θ/2) ]

(7)

De acuerdo al cálculo diferencial, el caudal máximo se produce cuando dQ/dθ = 0. Utilizando la Ec. 2, para el caso de pendiente y fricción constantes, esta condición lleva a:

d        ____  ( A 5/3 P - 2/3 )  =  0  dθ

(8)

Operando en las derivadas:

5                        dA            2                         dP   ____  A 2/3 P -2/3  _____   -   ____  A 5/3 P - 5/3 _____  =  0    3                        dθ            3                         dθ

(9)

Simplificando:

dA                    dP    5 P   _____   -   2 A   _____  =  0            dθ                    dθ

(10)

Reemplazando las Ecs. 3 a 6 en la Ec. 10:

5 θ ( 1 - cos θ )  -  2 ( θ - sin θ )  =  0

(11)

Simplificando:

3θ  -  5θ cos θ  +  2 sin θ = 0

(12)

Resolviendo para θ:  θ = 302° 25' 51,96".

Reemplazando este ángulo en la Ec. 7, se obtiene la profundidad relativa:  y/D  =  0,938 (Fig. 2).

Fig. 2  Profundidad relativa correspondiente al caudal máximo en una alcantarilla circular.

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3.  Resumen

Se ha calculado la profundidad relativa y/D correspondiente al caudal máximo en una alcantarilla circular. Este valor es:  y/D = 0.938. Esto se debe a que cuando la profundidad de flujo aumenta más allá del valor y = 0.938D, el perímetro mojado crece más rápidamente que el área de flujo; por lo tanto, el caudal, dado por la Ec. 2, disminuye.

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Bibliografía

Ponce, V. M. 2014. Fundamentos de la hidráulica de canales. Texto en línea.

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