RESUMEN Las curvas de remanso se expresan en términos de la pendiente crítica Sc . De esta manera, se demuestra que la gradiente de profundidad dy/dx está físicamente limitada a valores fuera del rango comprendido entre Sc y la pendiente de fondo So. Este nueva formulación mejora y completa la definición de rangos de gradiente de profundidad en el análisis de curvas de remanso. Adicionalmente, se presentan calculadores en línea para las curvas de remanso.

1.  INTRODUCCIÓN

El cálculo del flujo gradualmente variado es parte de la práctica de la ingeniería hidráulica. La ecuación convencional del flujo gradualmente variado se expresa en función de la pendiente de fondo S_o, la pendiente de fricción S_f, y el número de Froude F (Chow 1959; Henderson 1966). En este trabajo, la ecuación de flujo gradualmente variado se expresa alternativamente en función de la pendiente de fondo S_o , la pendiente crítica S_c , y el número de Froude F. El examen de esta ecuación revela que el gradiente de profundidad dy/dx está limitado a valores fuera del rango comprendido entre S_o y S_c . Este análisis mejora y completa la definición de rangos de gradiente de profundidades en las curvas de remanso.

2.  ECUACIÓN DEL FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

La ecuación de flujo gradualmente variado es (Chow 1959, página 220; Henderson 1966, página 130):

dx                    So - Sf ___  =  ___________________  dy          1 - [(Q 2 T ) / (g A 3)]

(1)

en la cual y = profundidad, x = distancia a lo largo del canal, dy/dx = gradiente de profundidad, Q = caudal o descarga, T = ancho de la superficie libre, A = área de flujo, y g = aceleración de la gravedad. Esta ecuación es válida para pendientes pequeñas (S_o < 0.1), lo cual es el caso típico. La pendiente de fricción en términos del coeficiente de Chezy C es (Chow 1959):

Q 2 Sf  =  __________            C 2 A 2 R

(2)

en la cual R = A/P = radio hidráulico, and P = perímetro mojado,

El número de Froude en términos de descarga Q es (Chow 1959):

Q 2 T F 2  =  _______               g A 3

(3)

Combinando las ecuaciones 2 y 3 se obtiene:

Sf  =  (P / T ) (g / C 2) F 2

(4)

En el flujo normal crítico F = 1, y la pendiente de fricción para el flujo crítico, es decir, la pendiente crítica, es:

Sc  = (Pc / Tc ) (g / C 2)

(5)

Combinando las ecuaciones 1, 4, y 5:

dy          So - Sc F 2 ___  =  ___________  dx             1 - F 2

(6)

la cual es estrictamente válida para la siguiente condición:  P /T = P_c /T_c . Esta última condición se satisface en un canal hidráulicamente ancho, para el cual T es asintóticamente igual a P.

Para mayor facilidad de expresión, la gradiente de profundidad se redefine como S_y = dy/dx. Resolviendo la ecuación 6 para el número de Froude:

So - Sy F 2  =   _________                Sc - Sy

(7)

Tomando en cuenta que F ² > 0, la gradiente de profundidad debe satisfacer las siguientes desigualdades:

So ≥ Sy ≤ Sc

(8)

So ≤ Sy ≥ Sc

(9)

lo cual limita la gradiente de profundidad S_y a valores fuera del rango comprendido entre S_o y S_c . Además, la ecuación 6 puede ser alternativamente expresada como sigue:

Sy          ( So / Sc ) - F 2 ___  =  ______________  Sc                1 - F 2

(10)

La ecuación 10 es la ecuación de flujo permanente gradualmente variado expresada en términos de la pendiente de fondo S_o , la pendiente crítica S_c , y el número de Froude F. La pendiente de fondo podría ser positiva (supercrítica, crítica, o subcrítica), cero (horizontal), o negativa (adversa). La pendiente crítica (Ecuación 5) y el número de Froude (Ecuación 3) son siempre positivos.

3.  CLASIFICACIÓN DE LAS CURVAS DE REMANSO

La ecuación 10 se utiliza para desarrollar una clasificación de curvas de remanso basada solamente en los tres parámetros adimensionales: S_y /S_c , S_o /S_c , y F. El flujo subcrítico se define como aquél para el cual la profundidad es mayor que la del flujo crítico (F ² < 1) (Chow 1959; Henderson 1966). Haciendo eco de esta definición ampliamente reconocida, el flujo subnormal se define como aquél para el cual la profundidad es mayor que la del flujo normal (flujo uniforme) [F ² < S_o /S_c ]. El flujo supernormal se define como aquél para el cual la profundidad flow es menor que la del flujo normal [F ² > S_o /S_c ] (USDA SCS 1971). El Cuadro 1 muestra los tipos posibles de curvas de remanso.

Cuadro 1.  Tipos posibles de las curvas de remanso.

TIPO 1:  SUBCRÍTICA/SUBNORMAL

Supercrítica:  S1 Crítica:  C1 Subcrítica:  M1

TIPO 2A:  SUPERCRÍTICA/SUBNORMAL

Supercrítica:  S2

TIPO 2B:  SUBCRÍTICA/SUPERNORMAL

Subcrítica:  M2 Horizontal:  H2 Adversa:  A2

TIPO 3:  SUPERCRÍTICA/SUPERNORMAL

Supercrítica:  S3 Crítica:  C3 Subcrítica:  M3 Horizontal:  H3 Adversa:  A3

El Cuadro 2 muestra un resumen de los tipos posibles de las curvas de remanso. La clasificación se obtiene directamente de la ecuación de flujo permanente gradualmente variado (Ecuación 10). Se observa que el tipo de perfil (Tipo 1, 2, o 3) determina el signo de S_y /S_c (Columna 2) y, por lo tanto, la clasificación de ya sea remanso o caída (Columna 3). Asimismo, el tipo de perfil determina el rango factible de S_o /S_c (Columna 4) y, por lo tanto, la existencia o inexistencia de perfiles específicos (alto, crítico, bajo, horizontal, y adverso) dentro de cada tipo (1, 2, o 3). Nótese que no todas las combinaciones de S_y /S_c y S_o /S_c son factibles.

Contrariamente a la información disponible en las referencias tradicionales (Chow 1959; Henderson 1966), los rangos de gradiente de profundidad (Cuadro 2, Columnas 7 y 8) están ahora completos para los doce (12) perfiles de curvas de remanso. En forma significativa, se nota que la gradiente de profundidad S_y está fuera del rango comprendido entre S_c y S_o .

La Figura 1 muestra una representación gráfica de los rangos del gradiente de profundidad. La flecha indica la dirección del cálculo. Por ejemplo, el gradiente de profundidad para el perfil S₃ (supercrítico/supernormal) decrece de S_c (un valor finito positivo) a 0 (asintótico al flujo normal). De igual manera, el gradiente de profundidad para los perfiles C₁ (subcrítico/subnormal) y C₃ (supercrítico/supernormal) es constante e igual a S_o = S_c . El Cuadro 2 contiene enlaces para accesar los respectivos calculadores en línea para las doce (12) curvas de remanso.

Cuadro 2.  Clasificación de las curvas de remanso [onlinecalc.sdsu.edu]
No. (1)	Sy /Sc (2)	Perfil (3)	So /Sc (4)	Pendiente (5)	Relaciones de profundidad (6)	Sy varía		Tipo de perfil (9)
						De (7)	A (8)
1.  FLUJO SUBCRÍTICO / SUBNORMAL 1:  1 > F 2 < So / Sc
1	Positivo	Remanso	> 1	Supercrítica	y > yc > yn	So	∞	S1
2	Positivo	Remanso	= 1	Crítica	y > yc = yn	So = Sc	So = Sc	C1
3	Positivo	Remanso	< 1; > 0	Subcrítica	y > yn = yc	So	0	M1
2A.  FLUJO SUPERCRÍTICO / SUBNORMAL2:  1 < F 2 < So / Sc
4	Negativo	Caída	> 1	Supercrítica	yc > y > yn	- ∞	0	S2
2B.  FLUJO SUBCRÍTICO / SUPERNORMAL3:  1 > F 2 > So / Sc
5	Negativo	Caída	< 1; > 0	Subcrítica	yn > y > yc	- ∞	0	M2
6	Negativo	Caída	= 0	Horizontal	y > yc ; yn → ∞	- ∞	So = 0	H2
7	Negativo	Caída	< 0	Adversa	y > yc ; yn → ∞	- ∞	So < 0	A2
3.  FLUJO SUPERCRÍTICO / SUPERNORMAL4:  1 < F 2 > So / Sc
8	Positivo	Remanso	> 1	Supercrítica	yc > yn > y	Sc	0	S3
9	Positivo	Remanso	= 1	Crítica	yc = yn > y	So = Sc	So = Sc	C3
10	Positivo	Remanso	< 1; > 0	Subcrítica	yn > yc > y	Sc	∞	M3
11	Positivo	Remanso	= 0	Horizontal	yc > y ; yn → ∞	Sc	∞	H3
12	Positivo	Remanso	< 0	Adversa	yc > y ; yn → ∞	Sc	∞	A3
1 Dado que So /Sc > F 2 > 0, no existen perfiles horizontales o adversos en flujo subcrítico/subnormal. 2 Dado que So /Sc > 1, no existen perfiles críticos, subcríticos, horizontales o adversos en flujo supercrítico/subnormal. 3 Dado que So /Sc < 1, no existen perfiles supercríticos o críticos en flujo subcrítico/supernormal. 4 Dado que So /Sc no está limitado, si existen los cinco tipos de perfiles en flujo supercrítico/supernormal.